Materi Online


Persamaan Kuadrat - SKD/TKD



Persamaan kuadrat dalam x mempunyai bentuk umum:

ax2 + bx + c = 0 , a ≠ 0

a, b dan c adalah bilangan riil.

 

1. Menyelesaikan Persamaan kuadrat

Persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan beberapa cara, yaitu dengan:

  1. memfaktorkan
  2. melengkapkan kuadrat sempurna
  3. menggunakan rumus

 

a. Memfaktorkan

Untuk nilai a = 1, pemfaktoran sebagai berikut :
Cari dua angka yang jika di tambahkan (+) menghasilkan b dan jika dikalikan (x) menghasilkan c.

Contoh
x2 + 7x + 12 = 0
(+) = 7
(x) = 12
angkanya : 3 dan 4
sehingga
x2 + 7x + 12 = 0
(x + 3)(x + 4) = 0
x = − 3 atau x = − 4

 

Untuk nilai a > 1, pemfaktoran sebagai berikut :
Cari dua angka (misalnya P dan Q), yang jika ditambahkan (+) menghasilkan b dan jika dikalikan (x) hasilnya adalah ac.
Kemudian masukkan dua angka tadi (P dan Q) ke pola berikut:

1/a (ax + P)(ax + Q) = 0

Contoh :
2x2 + x − 6 = 0
a = 2, b = 1 dan c = − 6

cari angka P dan Q
P + Q = b = 1
P.Q = ac = (2)(−6) = − 12
sehingga P = 4 dan Q = − 3

masukkan pola
1/a  (ax+P)(ax+Q)=0
1/2  (2x+4)(2x-3)=0

sederhanakan, (kalikan 1/2 dengan (2x + 4))
(x + 2)(2x − 3) = 0
x = −2 atau x = 3/2

 

b. Melengkapkan kuadrat sempurna

Persamaan kuadrat  ax2 + bx + c = 0   dapat diselesaikan dengan mengubahnya menjadi bentuk kuadrat sempurna (x + p)2 = q.

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 − 2ab + b2 = (a − b)2

Contoh :
x2 – 6x + 5 = 0
x2 – 6x + 9 – 4 = 0
x2 – 6 x + 9 = 4
(x – 3)2 = 4
x – 3 = 2 atau  x – 3 = –2
x = 5 atau x = 1

 

c. Menggunakan rumus


Rumus diatas disebut dengan rumus ABC. Akar x1 dan x2 didapat dengan menggunakan ±, dengan + untuk x1 dan – untuk x2 atau sebaliknya.

 

 

2. Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat


D = b2 - 4ac

Apabila:

  • D > 0, persamaan kuadrat mempunyai dua akar real berlainan,       .
  • D = 0, persamaan kuadrat mempunyai dua akar real sama.
  • D < 0, maka persamaan kuadrat mempunyai akar tidak real (imajiner).

 

 

3. Rumus-rumus akar

Jika x1 dan x2 adalah akar-akar dari persamaan  kuadrat ax2 + bx + c = 0 maka :

  • x1 + x2 = -b/a
  • x1 . x2 = c/a
  • x1 - x2 = -D/4a

 

 

4. Menyusun Persamaan Kuadrat


Persamaan kuadrat dapat disusun dengan :

  • menggunakan perkalian faktor, jika akar-akar persamaan kuadrat x1 dan x2 maka persamaannya adalah
    (x – x1) (x – x2) = 0
    Contoh :
    Tentukan persamaan kuadrat yang akar akarnya 3 dan -2.
    (x – x1) (x – x2) = 0
    (x – 3) (x – (-2)) = 0
    (x – 3) (x + 2) = 0
    x2 – 3 x + 2 x – 6 = 0
    x2 – x – 6 = 0.
  • menggunakan jumlah dan hasil kali akar-akar, Dengan menggunakan x1 + x2 = -b/a dan x1 x2 = c/a, maka akan diperoleh persamaan:
    x2 – (x1 + x2)x + x1 . x2 = 0
    Contoh:
    Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya –2 dan –3.
    x1 + x2 = – 5
    x1 . x2 = 6
    Jadi, persamaan kuadratnya
    x2 – (–5)x + 6 = 0  →  x2 + 5x + 6 = 0.