Materi Online


Himpunan - SKD/TKD



Himpunan dapat didefinisikan sebagai sebuah kumpulan dari beberapa objek yang dapat didefinisikan dengan jelas. Artinya objek tersebut jelas adanya dan memiliki keterangan yang jelas. Salah satu contoh himpunan adalah kumpulan siswa kelas XII SMA Harapan Maju. Intinya kumpulan tersebut di definisikan dengan jelas. Berbeda dengan kumpulan anak pecinta bola atau kumpulan siswa SMA, kumpulan itu tidak bisa di sebut himpunan karena benda-benda tersebut tidak di definisikan dengan jelas dan tidak merujuk pada objek tertentu yang jelas keberadaannya.

 

 

A. Macam-macam himpunan


Himpunan kosong
Himpunan kosong merupakan himpunan yang tidak ada anggota di dalamnya, biasanya jenis himpunan ini dituliskan dengan simbol ø atau { }.

Himpunan semesta
Himpunan semesta merupakan himpunan yang memuat atau mencakup keseluruhan anggota populasi, biasanya himpunan ini ditandai dengan huruf S.

Himpunan bilangan
Himpunan bilangan merupakan himpunan yang anggotanya berupa bilangan, misalnya bilangan bulat, riil, pecahan, genap, ganjil dan lainnya.

Himpunan terhingga
Himpunan terhingga adalah himpunan yang jumlah anggotanya masih terhingga, meliputi himpunan kosong dan himpunan yang memiliki n elemen.

Himpunan tak terhingga
Himpunan tak terhingga adalah himpunan yang jumlah anggotanya tidak terhingga. Contohnya himpunan bilangan ganjil atau genap, himpunan bilangan bulat, dsb.

 

 

B. Operasi Himpunan

 

Secara umum ada enam bagian penting dalam pembahasan Operasi Himpunan, bagian-bagian tersebut sebagai berikut.

 

1. Irisan himpunan


Irisan dua himpunan adalah suatu himpunan yang anggotanya merupakan anggota persekutuan dari dua himpunan tersebut.
A irisan B ditulis A ∩ B = {x | x ∈ A dan x ∈ B}

Contoh :   
A  = {1, 2, 4, 7, 8}
B  = {2, 3, 4, 8, 10}
A ∩ B  = {2, 4, 8}

 

2. Gabungan himpunan


Gabungan himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya terdiri atas anggota A atau anggota B.
A gabungan B ditulis A ∪ B = {x | x ∈ A atau x ∈ B}

Contoh :   
A  = {1, 2, 4, 5}
B  = {2, 3, 4, 6, 9}
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9}

 

3. Selisih himpunan


Selisih himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya semua anggota dari A tetapi bukan anggota dari B.
A Selisih B ditulis A - B = {x | x ∈ A atau x Ï B}

Contoh :   
A= {1, 2, 3, 4, 5}
B= {2, 3, 4, 8, 10}
A - B = {1, 5}

 

4. Komplemen himpunan


Komplemen himpunan A adalah suatu himpunan yang anggotanya merupakan anggota S tetapi bukan anggota A.
Komplemen A ditulis A’ atau Ac = {x | x ∈ S dan x Ï A}

Contoh :   
A= {1, 2, … , 7}
S = {bilangan riil kurang dari 10}
Ac = {8}

 

5. Beda setangkup himpunan


Beda setangkup himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggotanya merupakan anggota A dan B yang tidak merupakan anggota keduanya sekaligus.

Beda setangkup ditulis
A ⊕ B = (A ∪ B) – (A ∩ B)
= (A – B) ∪ (B – A)

Contoh :
A= {1, 2, 3, 4, 5}
B= {1, 5, 6, 8, 10}
A ⊕ B = {2, 3, 4, 6, 8, 10}

 

6. Perkalian kartesian himpunan


Perkalian kartesius himpunan A dan B adalah memasangkan satu per satu setiap anggota A kepada setiap anggota B.
Perkalian kartesian ditulis
A × B = {(a, b) | a ∈ A dan b ∈ B }

Contoh :
A = {1, 2, 3}, dan B = { a, b }
A × B = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }

 

Sifat-sifat Operasi Himpunan
  1. Sifat komutatif
    A ∩ B =  B ∩ A dan
    A ∪ B = B ∪ A
  2. Sifat asosiatif
    A ∩ (B ∩ C) =  (A ∩ B) ∩ C  dan
    A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
  3. Sifat distributif
    A ∩ (B ∪ C) =  (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) dan
    A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
  4. Hukum De Morgan
    (A ∩ B)C = S AC ∩ BC dan
    (A ∪ B)C =  AC ∪ BC
  5. Hukum identitas
    A ∪ A = A
    A ∩ A = A
    A U Ø = A
    A ∩ Ø = Ø
    A ∪ AC =S
    A ∩ AC = Ø
    S ∪ A = S
    S ∩ A = A
    (Ø)C = S
    (S)C = Ø, dan
    (AC)C = A
  6. Sifat dasar himpunan
    n(A ∩ B) = n(A) + n(B) – n (A ∪ B) jika A ∩ B  ≠ Ø
    n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n (A ∩ B) jika A ∪ B  ≠ Ø
    n (A – B) = n(A) – n(A ∩ B)